La TEORIA della RELATIVITA’ … per stupidi (6). Gli orologi rallentano e il tempo si dilata.

Tempo e orologi

… per cominciare dall’inizio: [ La teoria della relatività … per stupidi (1) ]

Ancora sull’invarianza della velocità della luce

L’esperimento di Michelson e Morley dimostra in modo indiscutibile che il moto della Terra non ha alcuna influenza sulla velocità della luce. Anche se la Terra si dovesse muovere in senso opposto alla propagazione della luce alla velocità di 100.000 km/s, noi misureremmo sempre una velocità della luce di 300.000 km/s. La velocità costante della luce è una legge universale della natura …  ma anche un grande enigma della natura. La ferrea logica della matematica suggerisce che le due velocità devono sommarsi per lo stesso motivo che, se io con la mia macchina vado a sbattere a 30 km/h contro una macchina che viene in senso opposto alla velocità di 10 km/h, la velocità dell’impatto sarà di 40 km/h.

Come possiamo spiegare l’enigma dell’invarianza della luce?

Qualcuno suggerisce che, una volta eliminato il concetto di etere, la luce si muove nel vuoto e pertanto mantiene una velocità costante. D’accordo … ma, se io mi muovo rispetto alla velocità costante del flusso luminoso, devo per forza misurare una velocità diversa da 300.000 km/s.

Come la mettiamo? Nell’esempio di prima dello scontro fra la mia auto e un’altra che procede in senso opposto, ragionando secondo il principio di relatività di Galileo, io posso considerare la mia macchina ferma e attribuire tutto il movimento all’altra macchina. In pratica posso affermare, da un punto di vista fisico ma non legale :-) , che la mia macchina era ferma e l’altra mi è venuta addosso alla velocità di 40 km/h. I danni alla carrozzeria sono gli stessi.

Lo stesso possiamo fare in una prospettiva più ampia. Se la Terra si muove a 30 km/s nella direzione di una sorgente luminosa che si avvicina alla Terra a 10 km/s, posso tranquillamente affermare che la Terra è ferma e che la sorgente del raggio luminoso si muove verso la Terra a 40 km/s. Facendo la somma delle velocità, il raggio luminoso dovrebbe lasciare la sorgente alla velocità di 300.040 km/s. Non è così! Il raggio luminoso viaggia sempre a 300.000 km/s per una caratteristica propria delle onde in generale. Infatti, noi possiamo sperimentare che la velocità di propagazione delle onde non dipende dalla velocità della sorgente. Per esempio, l’onda sonora provocata da un colpo di pistola si propaga nell’aria alla stessa velocità sia se il colpo di pistola è partito da un’auto che corre a 150 km/h, sia se è partito dal ciglio della strada. Anche sassi lanciati in acqua a velocità diverse creano onde che si propagano alla stessa velocità indipendentemente dalla velocità d’impatto dei sassi. Per similitudine possiamo dire che anche le onde luminose “dimenticano” immediatamente la velocità della sorgente (40 km/s) e proseguono mantenendo la propria velocità intrinseca, senza fare la somma delle velocità. E’ un fatto provato sperimentalmente che le stelle si muovono a velocità diverse rispetto alla Terra e che, nonostante ciò, la loro luce ci arriva sempre alla stessa velocità.

La relatività del tempo

L’assoluta incompatibilità fra il principio di relatività di Galileo e la teoria della velocità costante della luce di Maxwell mette in crisi il pensiero scientifico alla fine dell’ottocento. Gli scienziati del tempo si chiedevano se mantenere le leggi dell’elettromagnetismo di Maxwell e abbandonare il modello spazio-tempo di Galileo oppure, se mantenere quest’ultimo e abbandonare le leggi di Maxwell.

Nel 1905, sulla prestigiosa rivista scientifica ‘Annalen der Physik’ esce l’articolo di Einstein “Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento”. In quest’articolo Einstein se ne viene fuori con l’idea che, se si è disposti ad abbandonare il concetto di tempo assoluto, allora tutti i conti tornano e il principio di relatività di Galileo, esteso opportunamente, si può conciliare con la velocità costante della luce di 300.000 km/s.

Il modello spazio-tempo di Galileo e Newton, alla base dello sviluppo scientifico dell’ottocento, già comprendeva il concetto di spazio relativo, ora scende in campo Einstein e dice che anche il tempo è relativo.

Questo passaggio è di fondamentale importanza nella comprensione della Teoria della Relatività Ristretta di Einstein. Penso sia il caso quindi di procedere passo, passo con esempi facilmente comprensibili.

A costo di ripetermi, ripropongo il concetto di spazio relativo con un esercizio di fantasia visiva.

Immagina un universo completamente vuoto, senza pianeti, senza stelle, senza comete. Non c’è assolutamente nulla … eccetto … la tua astronave. Tu guardi fuori dall’oblò della navicella e non vedi nulla, nessun punto di riferimento. Stai fermo o ti muovi di moto rettilineo e uniforme? In che direzione stai andando? A che velocità? Se ci pensi bene, dovrai concordare con me che non puoi dare alcuna risposta a queste domande.

A un certo punto nel tuo campo visivo appare la mia navicella spaziale. Noti, dal tuo oblò, che rispetto alla tua navicella, la mia si muove di moto rettilineo e uniforme da destra verso sinistra. Ma sei sicuro che sia io a muovermi? Non è per caso, che io sto fermo mentre la tua navicella si muove da sinistra verso destra? Oppure che tutte e due le navicelle si muovono contemporaneamente in senso opposto? Anche qui non sei grado di rispondere. Quello che puoi fare, secondo il principio di relatività, è di supporre che tu sei fermo e attribuire tutto il movimento alla mia astronave. Puoi quindi dire, senza sbagliare, che io rispetto a te, mi muovo da destra verso sinistra. Anch’io, senza sbagliare, posso dire che io sto fermo e che tu, rispetto a me, ti muovi da sinistra verso destra.

A un certo punto, nel nostro campo visivo spunta un corpo celeste, un piccolo asteroide, che si muove velocemente nello spazio. Dal tuo oblò tu lo vedi muoversi nella stessa direzione della mia astronave ma a velocità maggiore.  Dal mio punto di vista, io vedo l’asteroide che prima mi raggiunge e poi mi supera. Riesci a visualizzare la situazione?

Ora io posso dire che l’asteroide si muove a una certa velocità e in una certa direzione. Altrettanto puoi fare tu dalla tua navicella. Il fatto è che le nostre misurazioni di velocità e direzione dell’asteroide non concordano. Ognuno di noi avrà la sua idea ‘privata’ sulla sua velocità, direzione e spazio percorso. Questo è lo spazio relativo. Vediamo come si visualizza geometricamente la situazione.

Vediamo ora le cose dal mio punto di vista.

Dal mio punto di vista, l’asteroide, nell’unità di tempo, percorre lo spazio x2 che, come vedi, è nettamente più piccolo dello spazio x1 che tu hai misurato prima.

Secondo il concetto di spazio relativo, due osservatori inerziali non concordano sullo spazio percorso da un sistema in movimento sia esso un asteroide o un fotone. Tieni bene a mente questo fatto e passiamo a considerare il tempo.

Accompagnato da sette squilli di tromba, entra in scena il tempo. Anche in questo caso procedo passo-passo con un esempio pratico di facile comprensione.

L’altro giorno ero in autostrada e, come mia abitudine, rispettavo il limite di velocità di 130 km/h. Siccome non c’era molto traffico, ho fissato la velocità di crociera a 130 km/h sul computer di bordo e ho tolto il piede dal pedale dell’acceleratore. Quando non c’è traffico è un piacere andare a velocità costante, con il contachilometri bloccato sui 130, senza usare il pedale dell’acceleratore. A un certo punto mi è sorto un dubbio: ma sto proprio andando a 130 km/h? Non è per caso che il contachilometri è leggermente starato per cui sto andando a 135 km/h? E se incontro un autovelox?

Mi è venuto in mente allora di fare un esperimento pratico per mettere alla prova la precisione del mio contachilometri. Ho pensato: se metto il contachilometri su 120 km/h, per fare 1 chilometro devo impiegare esattamente 30 secondi (perché così, in un minuto faccio 2 chilometri e in 60 minuti 120 chilometri); la distanza esatta di 1 Km la posso dedurre dai cartelli d’indicazione chilometrica e, per prendere il tempo, posso usare il mio orologio-cronometro con pulsante di Start-Stop.

Ho fissato così sul computer di bordo la velocità di 120 km/h, e, nel preciso istante in cui ho incrociato il cartello del chilometro 342, ho schiacciato il pulsante ‘Start’ del mio orologio. Nel momento in cui sono transitato di fronte al cartello del chilometro 343, ho premuto il pulsante ‘Stop’.

Risultato dell’esperimento: 31 secondi. Ho ripetuto un paio di volte l’esperimento e ho sempre rilevato un tempo fra 31 e 32 secondi.

Il mio contachilometri, evidentemente, non è molto preciso perché segna una velocità maggiore rispetto alla velocità reale (credo che questa sia una proprietà anche del tuo contachilometri).  Non mi sono messo a fare i calcoli mentali di quale fosse la velocità reale. Mi è bastato sapere che il mio contachilometri segnava una velocità maggiore di quella reale, quindi, con, l’animo in pace, ho settato la velocità del computer di bordo a 135 km/h e ho proseguito il viaggio.

Il giorno dopo ho raccontato il fatto al mio amico Bruno. “Ma che dici! Non è possibile! “ ribatte subito “ la BMW tara i contachilometri con precisione assoluta. Non fa di questi trucchi. Ti sei senz’altro sbagliato!”. “Anche tu hai una BMW” gli rispondo “facciamo insieme l’esperimento”. “Va bene”, risponde Bruno.

Oggi è il giorno dell’esperimento. Bruno è alla guida della sua BMW e imposta la velocità di crociera di 120 km/h. Io sono al suo fianco con il mio orologio-cronometro. Siamo sullo stesso tratto di autostrada e scegliamo ancora il km 342 per fare l’esperimento. Questa volta, però, io non guardo la strada ma fisso il cronometro. Nel preciso momento in cui la macchina incrocia il cartello del km 342, Bruno grida ‘Go’, io schiaccio il pulsante Start e continuo a fissare con attenzione il cronometro. Nel momento in cui la lancetta è sui 30 secondi, grido ‘Stop’. Se la velocità reale è di 120 km/h, in questo istante l’auto dovrebbe essere allineata con il cartello del km 343.

Non è così, …  anche Bruno deve ammettere che, quando io dico Stop, l’auto è ancora a una ventina di metri dal cartello del km 343. Anche ripetendo l’esperimento altre due volte il risultato è lo stesso. “Hai visto che avevo ragione? Adesso ci fermiamo al prossimo autogrill e paghi da bere” dico rivolto a Bruno. Bruno non risponde, sembra pensieroso. Sta ragionando “Sono ancora sicuro che il contachilometri della BMW è assolutamente esatto. C’era scritto su Quattroruote. Forse la società Autostrade ha sbagliato a mettere i cartelli contachilometri alla distanza giusta ... mmm …  mi sembra impossibile”. All’improvviso s’illumina in volto e raggiante mi dice: “non ti pago un bel niente. E’ il tuo cronometro che non segna bene il tempo!”.

In fondo, Bruno, dal suo punto di vista, ha ragione. Se è ‘assolutamente certo’ che la velocità dell’auto è di 120 km/h e, se in un’ora l’auto non percorre esattamente 120 km, allora, non c’è altra spiegazione, è il cronometro che non segna esattamente il tempo.

La stessa cosa dice Einstein: se è ‘assolutamente certo’ che la velocità della luce è sempre di 300.000 km/s e se, come visto nell’esempio di prima dell’asteroide, due osservatori inerziali non concordano sullo spazio percorso dalla luce nell’unità di tempo, allora sono gli orologi dei due osservatori che non segnano bene il tempo. Infatti, la velocità non è altro che il rapporto fra spazio e tempo: a parità di velocità, se varia lo spazio, deve variare anche il tempo. Dire però che gli orologi ‘non segnano bene il tempo’ non è corretto. I due orologi segnano correttamente il tempo ma non concordano fra loro. Un orologio situato su un sistema in movimento inerziale cammina a un ritmo diverso da quello di un orologio stazionario; più precisamente, l’orologio rallenta quanto più aumenta la velocità del sistema in movimento.

A questo punto mi sembra opportuno proporre l’ennesimo esempio.

Mettiamo che tu sei imbarcato sulla solita astronave che viaggia a una velocità di 100.000 km/s tale da risentire degli effetti relativistici. Io invece sono fermo sulla Terra. Secondo la teoria della relatività i nostri orologi non possono concordare. Più precisamente, considerata la velocità dell’astronave, il tuo orologio rallenta rispetto al mio che sto fermo sulla Terra. Ma cosa significa che il tuo orologio rallenta? Come fai ad accorgerti che rallenta? Tu potrai dire che rallenta solo se puoi confrontarlo con un altro orologio. Se prendi un secondo orologio dalla valigetta da viaggio e lo confronti con il primo, vedrai che sono perfettamente sincronizzati. Ovvio, dirai giustamente, viaggiano sull’astronave alla stessa velocità!  Per rilevare il cambiamento del ritmo del tempo potresti allora usare il battito del tuo cuore come tempo di riferimento … ma anche il cuore, con il suo battito periodico, è una specie di orologio. Quindi anche i battiti del tuo cuore sono rallentati nella stessa misura insieme alla respirazione e agli altri processi fisiologici. In nessun modo potrai accorgerti che il tuo tempo scorre più lentamente del normale.

Allora come si può affermare che il ritmo del tuo tempo è rallentato? Rallentato rispetto a cosa? Non è rallentato rispetto a tutti gli orologi che viaggiano con il tuo sistema di riferimento, ma è rallentato rispetto agli orologi di tutti i sistemi di riferimento che si muovono a velocità inferiore alla tua. Io sono su un sistema di riferimento, la Terra, che si muove a velocità nettamente inferiore alla tua: quindi, il tuo orologio è senz’altro rallentato rispetto al mio orologio. La durata della tua vita, misurata con il mio orologio sulla Terra, è più lunga rispetto alla mia.

E’ interessante notare che, per la teoria della relatività, la situazione è perfettamente simmetrica. Tu hai tutto il diritto di dire che sei tu e la tua astronave a essere fermo e che è la Terra a muoversi rispetto a te alla velocità di 100.000 km/s. In questo caso è il mio orologio che rallenta rispetto al tuo, è la mia vita che si allunga rispetto alla tua.

Ma chi ha ragione? Qual è il tempo giusto? La verità è che non esiste un tempo giusto come non esiste un tempo sbagliato. La verità è che il tempo è relativo: una misurazione di tempo ha valore solo se riferita a un determinato sistema inerziale. Ora, lo spazio è relativo, il tempo è relativo, … c’è qualcosa di assoluto? Certo, la velocità della luce è assoluta. La velocità della luce è il soffio eterno e immutabile di Dio.

Questa degli orologi che vanno ognuno per conto suo è un’idea difficilmente accettabile. Il buon senso comune e l’esperienza di ogni giorno ci dicono che un orologio mantiene lo stesso ritmo tanto se è in movimento quanto se è fermo. Se io faccio un viaggio in aereo da Roma a Milano non devo, all’arrivo, sincronizzare il mio orologio con l’ora che trovo dell’aeroporto di Milano.

Il fatto è che nella nostra vita quotidiana noi non abbiamo mai a che fare con velocità tanto grandi da rendere manifesta la relatività del tempo. E’ solo quando le velocità si avvicinano a quella della luce che si possono notare gli effetti relativistici. In auto, in aereo, ma anche sullo space-shuttle, il rallentamento di un orologio, anche se matematicamente calcolabile, non è misurabile. Le equazioni della relatività dimostrano che alle velocità cui siamo abituati, il cambiamento del ritmo degli orologi è assolutamente trascurabile.

Allora che ce ne facciamo della teoria della relatività? Se è applicabile solo in casi eccezionali, al di fuori della nostra quotidianità, potremmo relegarla fra le teorie fantasiose e inutili. No, non si può!

La fisica non si limita a studiare e definire le leggi della meccanica che impattano il nostro vivere quotidiano. Il suo obiettivo è di cogliere le leggi generali che valgono in tutto l’Universo. Non possiamo assolutamente assumere che le leggi della relatività trattino di avvenimenti eccezionali; al contrario esse ci offrono un quadro complessivo di un Universo incredibilmente complesso nel quale i semplici avvenimenti meccanici delle nostre esperienze terrene sono solo una parte marginale. Immagina i miliardi di miliardi di corpi celesti nel firmamento. Immagina anche le particelle nel mondo dell’atomo. Ogni corpo celeste, ogni particella elementare è un sistema inerziale che si muove a una velocità fantastica. La teoria della relatività offre in ogni istante un’accurata e completa descrizione della natura a partire dal microcosmo delle particelle elementari fino all’immensità dello spazio siderale.

Ma a pensarci bene, la teoria della relatività ha avuto un impatto, purtroppo, nella quotidianità di centinaia di migliaia di giapponesi. Parlo delle vittime delle due bombe atomiche sganciate sul Giappone alla fine della seconda guerra mondiale. E’, infatti, dalla teoria della relatività che viene fuori la famosa formula E=mc². Pensa un po’, nel 1905, Einstein, senza alcuna possibilità di sperimentazione pratica, ma lavorando solo con la testa e la matematica, arriva a capire che in un piccolissimo atomo inerte è nascosta un’energia impressionante. Ci sono voluti quaranta anni per confermare, drammaticamente, che, in effetti, l’atomo contiene un’energia stupefacente tale da distruggere intere città. Nella fissione nucleare, 10 grammi di uranio si trasformano in 900.000 miliardi di joule di energia. La fissione nucleare, oltre che nelle bombe atomiche, è usata, come ben sai, nelle centrali nucleari per produrre energia.

La relatività del tempo nella geometria dello spaziotempo di Minkowsky

Non tutti i lettori apprezzano il mio metodo di visualizzare geometricamente i concetti della relatività mediante i diagrammi di Minkowsky. Per qualcuno sono di difficile comprensione. Io sono invece d’accordo con il matematico irlandese J.L. Synge: "...to suppress the pictures is to suppress a powerful source of suggestion. ... Pictorial representation is essential for discovery and rapid understanding... “ (Relativity: The Special Theory). Continuo pertanto a disegnare e proporre i diagrammi di Minkowsky.

Secondo il modello spazio-tempo di Galileo, gli eventi che giacciono sullo stesso piano orizzontale sono simultanei fra loro. Nel capitolo “Relatività … per stupidi (3)” ho già parlato della simultaneità nel modello galileiano.

A costo di ripetermi, riprendo qui l’argomento per far risaltare il balzo concettuale compiuto dal pensiero scientifico per passare dal modello spazio-tempo di Galileo a quello dello spaziotempo di Einstein.

Nel diagramma 31 ci sono due osservatori inerziali: (1) Rossi (worldline rossa), in stato di quiete, fermo sulla Terra e; (2) Verdi (worldline verde) imbarcato su un’astronave che si allontana dalla Terra ad una velocità uniforme e rettilinea di 100.000 km/s. Rossi e Verdi osservano una navicella spaziale (worldline gialla) che va alla deriva nel vuoto interstellare.

Rossi, nel diagramma 31, è l’osservatore privilegiato in stato di quiete. Se osservi la sua worldline, puoi vedere che con il passare del tempo, egli rimane sempre nello stesso punto all’origine delle coordinate spaziali. Secondo il principio di relatività però nessuno ha l’esclusiva di osservatore privilegiato. Verdi ha tutti i diritti di reclamare lo stato di osservatore privilegiato, in stato di quiete, e assumere che sia la Terra a muoversi, rispetto a lui, alla velocità uniforme e rettilinea di 100.000 km/s. Lo accontentiamo applicando la trasformazione galileiana.

Se guardi i due diagrammi precedenti, vedrai però che Rossi e Verdi concordano sul tempo. Nella trasformazione galileiana, i piani di simultaneità, anche se sono shiftati orizzontalmente, rimangono coerenti con la coordinata tempo, t, e mantengono, pertanto, la loro validità. Gli eventi E1, E2 ed E3 che nella prospettiva di Rossi erano simultanei al momento t = 3, risultano simultanei, al momento t = 3, anche per Verdi. Nota anche che la coordinata tempo, t, è la stessa sia per Rossi sia per Verdi. In questo caso il tempo è assoluto, cioè uguale per tutti gli osservatori inerziali.

Per chiudere la discussione sul modello spazio-tempo galileiano, possiamo dire che, prima di Einstein, lo spazio era relativo e il tempo era assoluto.

Ora, con Maxwell, entra in gioco la costante della velocità della luce. Nei diagrammi che seguono, la worldline gialla non è quella della navicella spaziale alla deriva nello spazio, ma quella di un impulso luminoso.

Verdi, rispetto alla Terra, viaggia, in allontanamento, a 100.000 km/s. Infatti, se guardi la sua worldline, puoi vedere che in 3 secondi percorre 300.000 km.

Ho assegnato un nome all’asse verticale del tempo: invece di chiamarlo genericamente t come fatto finora, l’ho chiamato ‘Coordinata tempo di Rossi’, tR. C’è un motivo. Nel modello galileiano il tempo era assoluto, l’asse tempo era comune a tutti gli osservatori inerziali, quindi l’asse tempo di Rossi coincideva con l’asse tempo di Verdi. Ora, se il tempo è relativo in quanto varia con la velocità, l’asse del tempo di Rossi (che sta fermo) non può coincidere con l’asse tempo di Verdi (che si muove a 100.000 km/s).

Per disegnare l’asse tempo di Verdi dobbiamo abbandonare le trasformazioni galileiane e far scendere in campo le trasformazioni di Lorentz. Come si può disegnare l’asse tempo di Verdi secondo questo nuovo criterio? A pensarci bene, l’asse tempo, in generale, non è altro che l’insieme di tutti gli eventi che hanno coordinata spaziale uguale a zero.

E’ interessante notare che se l’asse tempo tV corrisponde alla worldline di Verdi, allora la sua inclinazione rappresenta la velocità di Verdi rispetto al sistema stazionario di Rossi. In pratica se l’angolo fra tR e tV aumenta, aumenta anche la velocità di allontanamento di Verdi da Rossi. Corrispondentemente, si amplieranno gli intervalli fra le unità di tempo su tV.

Diminuendo l’angolo fra tR e tV fino a portarlo a zero, la velocità di allontanamento di Verdi diventa zero e la coordinata tempo di Verdi, tV, va a coincidere con la coordinata tempo di Rossi, tR. Non essendoci, a questo punto, alcuna velocità reciproca fra i due sistemi, gli orologi devono viaggiare necessariamente allo stesso ritmo.

Rimane ora da disegnare la coordinata spazio di Verdi. Abbiamo un parametro cui attenerci per disegnarla correttamente: la velocità della luce che deve essere sempre di 300.000 km/s sia per Rossi fermo, sia per Verdi in movimento.

Dal diagramma 35 si può vedere che, anche dal punto di vista di Verdi, la luce in 1 secondo percorre 300.000 km, in 2 secondi 600.000 km, in 3 secondi 900.000 km.

In questo caso il sistema inerziale di Rossi è considerato sistema di riferimento privilegiato. Naturalmente non esiste un sistema di riferimento più privilegiato degli altri.

Per concludere questo capitolo vorrei fare un rapido cenno alle conseguenze della relatività del tempo sul concetto di simultaneità. Nei due diagrammi 31 e 32 ho disegnato i piani di simultaneità come fette di spaziotempo sovrapposte una all’altra in direzione della coordinata tempo. Ho anche detto che eventi che si trovano sullo stesso piano di simultaneità sono simultanei fra loro. Anche facendo la trasformazione galileiana, e quindi cambiando il sistema di riferimento privilegiato, gli eventi mantengono la loro simultaneità.  Le cose cambiano se il tempo è relativo.

Il risultato di questa rappresentazione di spaziotempo è stupefacente. Considera gli eventi E1 ed E2. Per Rossi i due eventi sono simultanei, non ci sono dubbi! E per Verdi? Secondo Verdi, E1 ed E2 non sono simultanei: al tempo tV = 0 , l'evento E2 è già accaduto, è nel suo passato, l’evento E1 non è ancora accaduto, è nel suo futuro.

Proietta questo concetto sconvolgente nell’immensità dell’Universo con i suoi miliardi di miliardi di corpi celesti tutti in movimento a velocità fantastiche e prova a riflettere sulle implicazioni filosofiche, teologiche e metafisiche che ne derivano. Una domanda che potresti porti è questa: se l'evento E1 è gia presente nel futuro di Verdi, non è possibile che anche tutti gli altri eventi della sua vita siano già presenti anch'essi?

A presto

Luigi Di Bianco

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